1.(★★★★)集合M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},則( )

A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= 2.(★★★★)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1

A.-3≤m≤4 B.-3

C.2

二、填空題

3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_________.

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},當A∩B只有一個元素時，a,b的關(guān)系式是_________.

三、解答題

5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0},求當a取什么實數(shù)時，A∩B 和A∩C= 同時成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a1和d均為實數(shù)，它的前n項和記作Sn,設(shè)集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}.

試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明;如果不正確，請舉例說明.

(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上;

(2)A∩B至多有一個元素;

(3)當a1≠0時，一定有A∩B≠ .

7.(★★★★)已知集合A={z||z-2|≤2,z∈C},集合B={w|w= zi+b,b∈R},當A∩B=B時，求b的值.

8.(★★★★)設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.

(1)求證：A B;

(2)如果A={-1，3}，求B.

參考答案

難點磁場

解：由 得x2+(m-1)x+1=0 ①

∵A∩B≠ ∴方程①在區(qū)間[0，2]上至少有一個實數(shù)解.

首先，由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,當m≥3時，由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.

當m≤-1時，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1]內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間[0，2]內(nèi).

故所求m的取值范圍是m≤-1.

殲滅難點訓練

一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=

nπ+ ,n∈Z},對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}.

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠ ,

∴ 即2

答案：D

二、3.a=0或a≥ 4.解析：由A∩B只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線 =1相切，則1= ,即ab= .

答案：ab= 三、5.解：log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x-8=0，∴C={2,-4},又A∩C= ，∴2和-4都不是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠ ,

∴3是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=-2.

當a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C= 不符合，所以a=5(舍去);當a=-2時，可以求得A={3，-5}，符合A∩C= ，A∩B ，∴a=-2.

6.解：(1)正確.在等差數(shù)列{an}中，Sn= ,則 (a1+an),這表明點(an, )的坐標適合方程y (x+a1),于是點(an, )均在直線y= x+ a1上.

(2)正確.設(shè)(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應(yīng)是方程組 的解，由方程組消去y得：2a1x+a12=-4(*)，當a1=0時，方程(*)無解，此時A∩B= ;當a1≠0時，方程(*)只有一個解x= ,此時，方程組也只有一解 ,故上述方程組至多有一解.

∴A∩B至多有一個元素.

(3)不正確.取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠ ,那么據(jù)(2)的結(jié)論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0= <0,y0= <0,這樣的(x0,y0) A,產(chǎn)生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B= ，所以a1≠0時，一定有A∩B≠ 是不正確的.

7.解：由w= zi+b得z= ,

∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| -2|≤2,化簡得|w-(b+i)|≤1.

∴集合A、B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點(2，0)為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.

又A∩B=B，即B A，∴兩圓內(nèi)含.

因此 ≤2-1,即(b-2)2≤0，∴b=2.

8.(1)證明：設(shè)x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.

∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).

即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A B.

(2)證明：∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},

∴方程x2+(p-1)x+q=0有兩根-1和3，應(yīng)用韋達定理，得

∴f(x)=x2-x-3.

于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根.

將方程(*)變形，得(x2-x-3)2-x2=0

解得x=1,3, ,- .

故B={- ，-1， ，3}.
 

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